Datrys {l}{2x-5y=4}{x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-5y=4$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=5y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

Amnewid \frac{5y}{2}+2 am x yn yr hafaliad arall, x+5y=1.

$$\frac{5}{2}y+2+5y=1$$

Adio \frac{5y}{2} at 5y.

$$\frac{15}{2}y+2=1$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{15}{2}y=-1$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{15}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{2}{15}$$

Cyfnewidiwch -\frac{2}{15} am y yn x=\frac{5}{2}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{15}\right)+2$$

Lluoswch \frac{5}{2} â -\frac{2}{15} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{3}+2$$

Adio 2 at -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2\times 5-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2\times 5-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\-\frac{1}{15}\times 4+\frac{2}{15}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

I wneud 2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2x-5y=4,2x+2\times 5y=2$$

Symleiddio.

$$2x-5y=4,2x+10y=2$$

Tynnwch 2x+10y=2 o 2x-5y=4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x-5y-10y=4-2$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5y-10y=4-2$$

Adio -5y at -10y.

$$-15y=4-2$$

Adio 4 at -2.

$$-15y=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=-\frac{2}{15}$$

Cyfnewidiwch -\frac{2}{15} am y yn x+5y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+5\left(-\frac{2}{15}\right)=1$$

Lluoswch 5 â -\frac{2}{15}.

$$x-\frac{2}{3}=1$$

Adio \frac{2}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{5}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$