Datrys {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer p, m

$$p=-2$$

$$m=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer p drwy ynysu p ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2p+3m=8$$

Tynnu 3m o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2p=-3m+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

Amnewid -\frac{3m}{2}+4 am p yn yr hafaliad arall, p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

Adio -\frac{3m}{2} at 2m.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}m=2$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$m=4$$

Cyfnewidiwch 4 am m yn p=-\frac{3}{2}m+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer p yn uniongyrchol.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 4.

$$p=-6+4$$

Adio 4 at -6.

$$p=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$p=-2,m=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics p a m.

$$p=-2,m=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

I wneud 2p a p yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

Symleiddio.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

Tynnwch 2p+4m=12 o 2p+3m=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

Adio 2p at -2p. Mae'r termau 2p a -2p yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3m-4m=8-12$$

Adio 3m at -4m.

$$-m=8-12$$

Adio 8 at -12.

$$-m=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$m=4$$

Cyfnewidiwch 4 am m yn p+2m=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer p yn uniongyrchol.

$$p+2\times 4=6$$

Lluoswch 2 â 4.

$$p+8=6$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$p=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$p=-2,m=4$$