Datrys {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=2$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$150y+200x=1000$$

Tynnu 200x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$150y=-200x+1000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 150.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

Lluoswch \frac{1}{150} â -200x+1000.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

Amnewid \frac{-4x+20}{3} am y yn yr hafaliad arall, 100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

Lluoswch 100 â \frac{-4x+20}{3}.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

Adio -\frac{400x}{3} at 400x.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

Tynnu \frac{2000}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{800}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=2$$

Cyfnewidiwch 2 am x yn y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â 2.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

Adio \frac{20}{3} at -\frac{8}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=4,x=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=4,x=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

I wneud 150y a 100y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 100 a holl dermau naill ochr yr ail â 150.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

Symleiddio.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

Tynnwch 15000y+60000x=180000 o 15000y+20000x=100000 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

Adio 15000y at -15000y. Mae'r termau 15000y a -15000y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

Adio 20000x at -60000x.

$$-40000x=100000-180000$$

Adio 100000 at -180000.

$$-40000x=-80000$$

Rhannu’r ddwy ochr â -40000.

$$x=2$$

Cyfnewidiwch 2 am x yn 100y+400x=1200. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$100y+400\times 2=1200$$

Lluoswch 400 â 2.

$$100y+800=1200$$

Tynnu 800 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$100y=400$$

Rhannu’r ddwy ochr â 100.

$$y=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=4,x=2$$