Datrys {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x-3y=24$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 12.

$$12x+y=24$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=24$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Amnewid \frac{3y}{2}+12 am x yn yr hafaliad arall, 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

Lluoswch 12 â \frac{3y}{2}+12.

$$18y+144+y=24$$

Adio 18y at y.

$$19y+144=24$$

Tynnu 144 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$19y=-120$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=-\frac{120}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{120}{19} am y yn x=\frac{3}{2}y+12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

Lluoswch \frac{3}{2} â -\frac{120}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

Adio 12 at -\frac{180}{19}.

$$x=\frac{48}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x-3y=24$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 12.

$$12x+y=24$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x-3y=24$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 12.

$$12x+y=24$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

I wneud 2x a 12x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 12 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

Symleiddio.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

Tynnwch 24x+2y=48 o 24x-36y=288 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

Adio 24x at -24x. Mae'r termau 24x a -24x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-36y-2y=288-48$$

Adio -36y at -2y.

$$-38y=288-48$$

Adio 288 at -48.

$$-38y=240$$

Rhannu’r ddwy ochr â -38.

$$y=-\frac{120}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{120}{19} am y yn 12x+y=24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

Adio \frac{120}{19} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$12x=\frac{576}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$x=\frac{48}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$