Datrys {l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewidiad a Fformiwla Cwadratig

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,3.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi k â x+1.

$$y=kx+k$$

Amnewid kx+k am y yn yr hafaliad arall, 3x^{2}+4y^{2}=12.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

Sgwâr kx+k.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

Lluoswch 4 â k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

Adio 3x^{2} at 4k^{2}x^{2}.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 3+4k^{2} am a, 4\times 2kk am b, a 4k^{2}-12 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Sgwâr 4\times 2kk.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Lluoswch -4 â 3+4k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Lluoswch -12-16k^{2} â 4k^{2}-12.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Adio 64k^{4} at 144+144k^{2}-64k^{4}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Cymryd isradd 144k^{2}+144.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Lluoswch 2 â 3+4k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} pan fydd ± yn plws. Adio -8k^{2} at 12\sqrt{k^{2}+1}.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Rhannwch -8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} â 6+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} pan fydd ± yn minws. Tynnu 12\sqrt{k^{2}+1} o -8k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Rhannwch -8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} â 6+8k^{2}.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Mae dau ateb ar gyfer x: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} a -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. Amnewidiwch \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} am x yn yr hafaliad y=kx+k i ddod o hyd i'r ateb cyfatebol ar gyfer y sy'n bodloni'r ddau hafaliad.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

Lluoswch k â \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

Nawr, amnewidiwch -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} am x yn yr hafaliad y=kx+k a’i ddatrys i ganfod yr ateb cyfatebol ar gyfer y sy'n bodloni'r ddau hafaliad.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

Lluoswch k â -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Datrys ar gyfer x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$