Datrys {l}{x+3y/3=y+1/2+3x/4}{3x+5y/5=frac{x+4}{2}-frac{x+y+9}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2,4.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x+3y.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 6 â y+1.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

Lluosi 3 a 3 i gael 9.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

Cyfuno 12y a -6y i gael 6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$4x+6y-9x=6$$

Cyfuno 4x a -9x i gael -5x.

$$-5x+6y=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 10, lluoswm cyffredin lleiaf 5,2,10.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x+5y.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â x+4.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x+y+9, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

Cyfuno 5x a -x i gael 4x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

Tynnu 9 o 20 i gael 11.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$6x+10y-4x=11-y$$

Cyfuno 6x a -4x i gael 2x.

$$2x+10y=11-y$$

Ychwanegu y at y ddwy ochr.

$$2x+10y+y=11$$

Cyfuno 10y a y i gael 11y.

$$2x+11y=11$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-5x+6y=6$$

Tynnu 6y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5x=-6y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â -6y+6.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}$$

Amnewid \frac{-6+6y}{5} am x yn yr hafaliad arall, 2x+11y=11.

$$2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11$$

Lluoswch 2 â \frac{-6+6y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11$$

Adio \frac{12y}{5} at 11y.

$$\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11$$

Adio \frac{12}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{67}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

Adio -\frac{6}{5} at \frac{6}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2,4.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x+3y.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 6 â y+1.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

Lluosi 3 a 3 i gael 9.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

Cyfuno 12y a -6y i gael 6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$4x+6y-9x=6$$

Cyfuno 4x a -9x i gael -5x.

$$-5x+6y=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 10, lluoswm cyffredin lleiaf 5,2,10.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x+5y.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â x+4.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x+y+9, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

Cyfuno 5x a -x i gael 4x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

Tynnu 9 o 20 i gael 11.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$6x+10y-4x=11-y$$

Cyfuno 6x a -4x i gael 2x.

$$2x+10y=11-y$$

Ychwanegu y at y ddwy ochr.

$$2x+10y+y=11$$

Cyfuno 10y a y i gael 11y.

$$2x+11y=11$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2,4.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x+3y.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 6 â y+1.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

Lluosi 3 a 3 i gael 9.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

Cyfuno 12y a -6y i gael 6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$4x+6y-9x=6$$

Cyfuno 4x a -9x i gael -5x.

$$-5x+6y=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 10, lluoswm cyffredin lleiaf 5,2,10.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x+5y.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â x+4.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x+y+9, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

Cyfuno 5x a -x i gael 4x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

Tynnu 9 o 20 i gael 11.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$6x+10y-4x=11-y$$

Cyfuno 6x a -4x i gael 2x.

$$2x+10y=11-y$$

Ychwanegu y at y ddwy ochr.

$$2x+10y+y=11$$

Cyfuno 10y a y i gael 11y.

$$2x+11y=11$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

I wneud -5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â -5.

$$2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11$$

Symleiddio.

$$-10x+12y=12,-10x-55y=-55$$

Tynnwch -10x-55y=-55 o -10x+12y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-10x+10x+12y+55y=12+55$$

Adio -10x at 10x. Mae'r termau -10x a 10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y+55y=12+55$$

Adio 12y at 55y.

$$67y=12+55$$

Adio 12 at 55.

$$67y=67$$

Rhannu’r ddwy ochr â 67.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 2x+11y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+11=11$$

Tynnu 11 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=1$$