Datrys {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Cyfuno 7y a 3y i gael 10y.

$$2x+10y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Ychwanegu 2x at y ddwy ochr.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Cyfuno 2x a 2x i gael 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$4x+5y=4+1$$

Adio 4 a 1 i gael 5.

$$4x+5y=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+10y=0$$

Tynnu 10y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-10y$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -10y.

$$x=-5y$$

Amnewid -5y am x yn yr hafaliad arall, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

Lluoswch 4 â -5y.

$$-20y+5y=5$$

Adio -20y at 5y.

$$-15y=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{3} am y yn x=-5y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Lluoswch -5 â -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Cyfuno 7y a 3y i gael 10y.

$$2x+10y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Ychwanegu 2x at y ddwy ochr.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Cyfuno 2x a 2x i gael 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$4x+5y=4+1$$

Adio 4 a 1 i gael 5.

$$4x+5y=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Cyfuno 7y a 3y i gael 10y.

$$2x+10y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Ychwanegu 2x at y ddwy ochr.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Cyfuno 2x a 2x i gael 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$4x+5y=4+1$$

Adio 4 a 1 i gael 5.

$$4x+5y=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Symleiddio.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Tynnwch 8x+10y=10 o 8x+40y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$40y-10y=-10$$

Adio 40y at -10y.

$$30y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{3} am y yn 4x+5y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

Lluoswch 5 â -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Adio \frac{5}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{20}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$