Datrys {c}{x+4y=12}{2x-y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 4 y = 12 } \\ { 2 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+4y=12$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-4y+12$$

Amnewid -4y+12 am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=6.

$$2\left(-4y+12\right)-y=6$$

Lluoswch 2 â -4y+12.

$$-8y+24-y=6$$

Adio -8y at -y.

$$-9y+24=6$$

Tynnu 24 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9y=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-4y+12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-4\times 2+12$$

Lluoswch -4 â 2.

$$x=-8+12$$

Adio 12 at -8.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\times 2}&-\frac{4}{-1-4\times 2}\\-\frac{2}{-1-4\times 2}&\frac{1}{-1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{4}{9}\times 6\\\frac{2}{9}\times 12-\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\times 4y=2\times 12,2x-y=6$$

Symleiddio.

$$2x+8y=24,2x-y=6$$

Tynnwch 2x-y=6 o 2x+8y=24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+8y+y=24-6$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y+y=24-6$$

Adio 8y at y.

$$9y=24-6$$

Adio 24 at -6.

$$9y=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 2x-y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-2=6$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=2$$