Datrys {c}{2x+5y=8}{x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 8 } \\ { x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{39}{11} = 3\frac{6}{11} \approx 3.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+5y=8$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-5y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5y+8.

$$x=-\frac{5}{2}y+4$$

Amnewid -\frac{5y}{2}+4 am x yn yr hafaliad arall, x-3y=3.

$$-\frac{5}{2}y+4-3y=3$$

Adio -\frac{5y}{2} at -3y.

$$-\frac{11}{2}y+4=3$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{2}y=-1$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{2}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{2}{11} am y yn x=-\frac{5}{2}y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{11}+4$$

Lluoswch -\frac{5}{2} â \frac{2}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{5}{11}+4$$

Adio 4 at -\frac{5}{11}.

$$x=\frac{39}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-5}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 8+\frac{5}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

I wneud 2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2x+5y=8,2x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

Symleiddio.

$$2x+5y=8,2x-6y=6$$

Tynnwch 2x-6y=6 o 2x+5y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+5y+6y=8-6$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y+6y=8-6$$

Adio 5y at 6y.

$$11y=8-6$$

Adio 8 at -6.

$$11y=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=\frac{2}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{2}{11} am y yn x-3y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-3\times \frac{2}{11}=3$$

Lluoswch -3 â \frac{2}{11}.

$$x-\frac{6}{11}=3$$

Adio \frac{6}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{39}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$