Datrys x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Datrys ar gyfer x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-1$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -2,1,2 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), lluoswm cyffredin lleiaf x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Lluosi x+2 a x+2 i gael \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-2 â x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-1 â 3x+2 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Cyfuno -2x^{2} a 3x^{2} i gael x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Cyfuno -2x a -x i gael -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Tynnu 2 o 4 i gael 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-2 â x-1 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x^{2}-3x+2 â x+2 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio'r theorem binomaidd \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} i ehangu'r \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x^{2}+4x+4, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Cyfuno -x^{2} a -x^{2} i gael -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Cyfuno -4x a -4x i gael -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Tynnu 4 o 4 i gael 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Tynnu x^{3} o'r ddwy ochr.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Cyfuno x^{3} a -x^{3} i gael 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Ychwanegu 2x^{2} at y ddwy ochr.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Cyfuno x^{2} a 2x^{2} i gael 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Ychwanegu 8x at y ddwy ochr.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Cyfuno -3x a 8x i gael 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Ad-drefnu'r polynomial i’w roi yn y ffurf safonol. Rhowch y termau yn y drefn o'r pŵer uchaf i'r isaf.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel 3x^{2}+ax+bx+2. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn bositif, mae a a b ill dau yn bositif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 6.

$$1,6 2,3$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$1+6=7 2+3=5$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm 5.

$$a=2 b=3$$

Ailysgrifennwch 3x^{2}+5x+2 fel \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Ffactoriwch x allan yn 3x^{2}+2x.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Ffactoriwch y term cyffredin 3x+2 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch 3x+2=0 a x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -2,1,2 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), lluoswm cyffredin lleiaf x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Lluosi x+2 a x+2 i gael \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-2 â x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-1 â 3x+2 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Cyfuno -2x^{2} a 3x^{2} i gael x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Cyfuno -2x a -x i gael -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Tynnu 2 o 4 i gael 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-2 â x-1 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x^{2}-3x+2 â x+2 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio'r theorem binomaidd \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} i ehangu'r \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x^{2}+4x+4, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Cyfuno -x^{2} a -x^{2} i gael -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Cyfuno -4x a -4x i gael -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Tynnu 4 o 4 i gael 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Tynnu x^{3} o'r ddwy ochr.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Cyfuno x^{3} a -x^{3} i gael 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Ychwanegu 2x^{2} at y ddwy ochr.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Cyfuno x^{2} a 2x^{2} i gael 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Ychwanegu 8x at y ddwy ochr.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Cyfuno -3x a 8x i gael 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 3 am a, 5 am b, a 2 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Sgwâr 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Lluoswch -4 â 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Lluoswch -12 â 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Adio 25 at -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Cymryd isradd 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

Lluoswch 2 â 3.

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{-5±1}{6} pan fydd ± yn plws. Adio -5 at 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{-4}{6} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{-5±1}{6} pan fydd ± yn minws. Tynnu 1 o -5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Rhannwch -6 â 6.

$$x=-1$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -2,1,2 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), lluoswm cyffredin lleiaf x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Lluosi x+2 a x+2 i gael \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-2 â x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-1 â 3x+2 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Cyfuno -2x^{2} a 3x^{2} i gael x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Cyfuno -2x a -x i gael -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Tynnu 2 o 4 i gael 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x-2 â x-1 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x^{2}-3x+2 â x+2 a chyfuno termau tebyg.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Defnyddio'r theorem binomaidd \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} i ehangu'r \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x^{2}+4x+4, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Cyfuno -x^{2} a -x^{2} i gael -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Cyfuno -4x a -4x i gael -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Tynnu 4 o 4 i gael 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Tynnu x^{3} o'r ddwy ochr.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Cyfuno x^{3} a -x^{3} i gael 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Ychwanegu 2x^{2} at y ddwy ochr.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Cyfuno x^{2} a 2x^{2} i gael 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Ychwanegu 8x at y ddwy ochr.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Cyfuno -3x a 8x i gael 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$5x+3x^{2}=-2$$

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Mae rhannu â 3 yn dad-wneud lluosi â 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Rhannwch \frac{5}{3}, cyfernod y term x, â 2 i gael \frac{5}{6}. Yna ychwanegwch sgwâr \frac{5}{6} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Sgwariwch \frac{5}{6} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Adio -\frac{2}{3} at \frac{25}{36} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Ffactora x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Symleiddio.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Tynnu \frac{5}{6} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$