Datrys 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Datrys ar gyfer x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -6,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth x\left(x+6\right), lluoswm cyffredin lleiaf x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x+6 â 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Cyfuno 2x a x\times 15 i gael 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Tynnu x^{2} o'r ddwy ochr.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Tynnu 6x o'r ddwy ochr.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Cyfuno 17x a -6x i gael 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Ad-drefnu'r polynomial i’w roi yn y ffurf safonol. Rhowch y termau yn y drefn o'r pŵer uchaf i'r isaf.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel -x^{2}+ax+bx+12. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Gan fod ab yn negatif, mae gan a a b yr arwyddion croes. Gan fod a+b yn bositif, mae gan y rhif positif werth absoliwt mwy na'r negatif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm 11.

$$a=12 b=-1$$

Ailysgrifennwch -x^{2}+11x+12 fel \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Ni ddylech ffactorio -x yn y cyntaf a -1 yn yr ail grŵp.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin x-12 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch x-12=0 a -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -6,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth x\left(x+6\right), lluoswm cyffredin lleiaf x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x+6 â 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Cyfuno 2x a x\times 15 i gael 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Tynnu x^{2} o'r ddwy ochr.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Tynnu 6x o'r ddwy ochr.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Cyfuno 17x a -6x i gael 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch -1 am a, 11 am b, a 12 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Sgwâr 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Lluoswch -4 â -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Lluoswch 4 â 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Adio 121 at 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Cymryd isradd 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Lluoswch 2 â -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{-11±13}{-2} pan fydd ± yn plws. Adio -11 at 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Rhannwch 2 â -2.

$$x=-1$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{-11±13}{-2} pan fydd ± yn minws. Tynnu 13 o -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Rhannwch -24 â -2.

$$x=12$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$x=-1 x=12$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -6,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth x\left(x+6\right), lluoswm cyffredin lleiaf x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x+6 â 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Cyfuno 2x a x\times 15 i gael 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Tynnu x^{2} o'r ddwy ochr.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Tynnu 6x o'r ddwy ochr.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Cyfuno 17x a -6x i gael 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Tynnu 12 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$11x-x^{2}=-12$$

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Mae rhannu â -1 yn dad-wneud lluosi â -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Rhannwch 11 â -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Rhannwch -12 â -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Rhannwch -11, cyfernod y term x, â 2 i gael -\frac{11}{2}. Yna ychwanegwch sgwâr -\frac{11}{2} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Sgwariwch -\frac{11}{2} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Adio 12 at \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Ffactora x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Symleiddio.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adio \frac{11}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=12 x=-1$$