Vyřešit y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte x od obou stran.

$$y-x=5$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat x na obě strany.

$$y+x=3$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$y-x=5,y+x=3$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro y izolováním y na levé straně rovnice.

$$y-x=5$$

Připočítejte x k oběma stranám rovnice.

$$y=x+5$$

Dosaďte x+5 za y ve druhé rovnici, y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Přidejte uživatele x do skupiny x.

$$2x+5=3$$

Odečtěte hodnotu 5 od obou stran rovnice.

$$2x=-2$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=-1$$

V rovnici y=x+5 dosaďte x za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=-1+5$$

Přidejte uživatele 5 do skupiny -1.

$$y=4$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=4,x=-1$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte x od obou stran.

$$y-x=5$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat x na obě strany.

$$y+x=3$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$y-x=5,y+x=3$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=4,x=-1$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte x od obou stran.

$$y-x=5$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat x na obě strany.

$$y+x=3$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$y-x=5,y+x=3$$

Odečtěte rovnici y+x=3 od rovnice y-x=5 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$y-y-x-x=5-3$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-x-x=5-3$$

Přidejte uživatele -x do skupiny -x.

$$-2x=5-3$$

Přidejte uživatele 5 do skupiny -3.

$$-2x=2$$

Vydělte obě strany hodnotou -2.

$$x=-1$$

V rovnici y+x=3 dosaďte x za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y-1=3$$

Připočítejte 1 k oběma stranám rovnice.

$$y=4$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=4,x=-1$$