Vyřešit k^2-k-4>0

$$k ^ { 2 } - k - 4 > 0$$

Vyřešit pro: k

$$k\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{17}+1}{2},\infty\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$k^{2}-k-4=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -1 a c hodnotou -4.

$$k=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$k=\frac{1±\sqrt{17}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte k=\frac{1±\sqrt{17}}{2} rovnice.

$$k=\frac{\sqrt{17}+1}{2} k=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}\right)\left(k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)>0$$

Pokud má součin představovat kladné číslo, musí být hodnoty k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} a k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} buď obě záporné, nebo obě kladné. Předpokládejme, že oba výrazy k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} a k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} jsou záporné.

$$k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}<0 k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}.

$$k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Předpokládejme, že oba výrazy k-\frac{\sqrt{17}+1}{2} a k-\frac{1-\sqrt{17}}{2} jsou kladné.

$$k-\frac{1-\sqrt{17}}{2}>0 k-\frac{\sqrt{17}+1}{2}>0$$

Pro obě nerovnice platí řešení k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}.

$$k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$k<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\text{; }k>\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$