Vyřešit f(x)=-x^3+15x^2-75x+125

$$f ( x ) = - x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 75 x + 125$$

Rozložit

$$\left(5-x\right)^{3}$$

Postup řešení

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 125 a q je dělitelem vedoucího koeficientu -1. Jeden takový kořen je 5. Součinitele polynomu rozdělíte x-5.

$$\left(x-5\right)\left(-x^{2}+10x-25\right)$$

Zvažte -x^{2}+10x-25. Roznásobte výraz podle seskupení. Nejprve musí být výraz přepsán jako -x^{2}+ax+bx-25. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=10 ab=-\left(-25\right)=25$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 25 produktu.

$$1,25 5,5$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+25=26 5+5=10$$

Řešením je dvojice se součtem 10.

$$a=5 b=5$$

Zapište -x^{2}+10x-25 jako: \left(-x^{2}+5x\right)+\left(5x-25\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(5x-25\right)$$

Koeficient -x v prvním a 5 ve druhé skupině.

$$-x\left(x-5\right)+5\left(x-5\right)$$

Vytkněte společný člen x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-5\right)\left(-x+5\right)$$

Přepište celý rozložený výraz.

$$\left(-x+5\right)\left(x-5\right)^{2}$$

Vyhodnotit

$$\left(5-x\right)^{3}$$