Vyřešit a+bsqrt{3}=frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}

$$a + b \sqrt { 3 } = \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

Vyřešte pro: b

$$b=-\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$

Postup řešení lineární rovnice

Převeďte jmenovatele \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} vynásobením čitatele a jmenovatele \sqrt{3}-1.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Zvažte \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Umocněte číslo \sqrt{3} na druhou. Umocněte číslo 1 na druhou.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Odečtěte 1 od 3 a dostanete 2.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Vynásobením \sqrt{3}-1 a \sqrt{3}-1 získáte \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{3}-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}$$

Sečtením 3 a 1 získáte 4.

$$a+b\sqrt{3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Když jednotlivé členy vzorce 4-2\sqrt{3} vydělíte 2, dostanete 2-\sqrt{3}.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Odečtěte a od obou stran.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Rovnice je ve standardním tvaru.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Vydělte obě strany hodnotou \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Dělení číslem \sqrt{3} ruší násobení číslem \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Vydělte číslo 2-\sqrt{3}-a číslem \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Vyřešte pro: a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$