Vyřešit 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$x=3$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 9x^{2}+ax+bx-24. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -216 produktu.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

Řešením je dvojice se součtem -19.

$$a=-27 b=8$$

Zapište 9x^{2}-19x-24 jako: \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

Koeficient 9x v prvním a 8 ve druhé skupině.

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Vytkněte společný člen x-3 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-3=0 a 9x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 9 za a, -19 za b a -24 za c.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Umocněte číslo -19 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 9.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslem -24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Přidejte uživatele 361 do skupiny 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

Opakem -19 je 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 9.

$$x=\frac{19±35}{18}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{19±35}{18}, když ± je plus. Přidejte uživatele 19 do skupiny 35.

$$x=\frac{54}{18}$$

Vydělte číslo 54 číslem 18.

$$x=3$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{19±35}{18}, když ± je minus. Odečtěte číslo 35 od čísla 19.

$$x=-\frac{16}{18}$$

Vykraťte zlomek \frac{-16}{18} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=-\frac{8}{9}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Připočítejte 24 k oběma stranám rovnice.

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Odečtením čísla -24 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

Odečtěte číslo -24 od čísla 0.

$$9x^{2}-19x=24$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

Dělení číslem 9 ruší násobení číslem 9.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

Vykraťte zlomek \frac{24}{9} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

Vydělte -\frac{19}{9}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{19}{18}. Potom přidejte čtvereček -\frac{19}{18} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{19}{18} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Připočítejte \frac{8}{3} ke \frac{361}{324} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Činitel x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Připočítejte \frac{19}{18} k oběma stranám rovnice.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$