Vyřešit 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 9x^{2}+ax+bx+4. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 36 produktu.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Řešením je dvojice se součtem -12.

$$a=-6 b=-6$$

Zapište 9x^{2}-12x+4 jako: \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

Koeficient 3x v prvním a -2 ve druhé skupině.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Vytkněte společný člen 3x-2 s využitím distributivnosti.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Jestliže chcete najít řešení rovnice, vyřešte 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 9 za a, -12 za b a 4 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Umocněte číslo -12 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Přidejte uživatele 144 do skupiny -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Opakem -12 je 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Vykraťte zlomek \frac{12}{18} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Odečtěte hodnotu 4 od obou stran rovnice.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

Odečtením čísla 4 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Dělení číslem 9 ruší násobení číslem 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Vykraťte zlomek \frac{-12}{9} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Vydělte -\frac{4}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{2}{3}. Potom přidejte čtvereček -\frac{2}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{2}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Připočítejte -\frac{4}{9} ke \frac{4}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Činitel x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Připočítejte \frac{2}{3} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená. Řešení jsou stejná.

$$x=\frac{2}{3}$$