Vyřešit 772-2x^2+x-1leq0

$$772 - 2 x ^ { 2 } + x - 1 \leq 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{6169}}{4}]\cup [\frac{\sqrt{6169}+1}{4},\infty)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Odečtěte 1 od 772 a dostanete 771.

$$771-2x^{2}+x\leq 0$$

Vynásobte nerovnici -1, aby byl koeficient nejvyšší mocniny ve výrazu 771-2x^{2}+x kladný. Protože je -1 záporné, směr nerovnice se změní.

$$-771+2x^{2}-x\geq 0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$-771+2x^{2}-x=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 2, b hodnotou -1 a c hodnotou -771.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-771\right)}}{2\times 2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{6169}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} a x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} a x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} obojí ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Zvažte případ, kdy x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} a x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} obojí ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$