Vyřešit 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 7x^{2}+ax+bx-78. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -546 produktu.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Řešením je dvojice se součtem 5.

$$a=-21 b=26$$

Zapište 7x^{2}+5x-78 jako: \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Koeficient 7x v prvním a 26 ve druhé skupině.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Vytkněte společný člen x-3 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-3=0 a 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 7 za a, 5 za b a -78 za c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Umocněte číslo 5 na druhou.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -28 číslem -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Přidejte uživatele 25 do skupiny 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-5±47}{14}, když ± je plus. Přidejte uživatele -5 do skupiny 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Vydělte číslo 42 číslem 14.

$$x=3$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-5±47}{14}, když ± je minus. Odečtěte číslo 47 od čísla -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Vykraťte zlomek \frac{-52}{14} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Připočítejte 78 k oběma stranám rovnice.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Odečtením čísla -78 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Odečtěte číslo -78 od čísla 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Dělení číslem 7 ruší násobení číslem 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Vydělte \frac{5}{7}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{5}{14}. Potom přidejte čtvereček \frac{5}{14} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{5}{14} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Připočítejte \frac{78}{7} ke \frac{25}{196} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Činitel x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Odečtěte hodnotu \frac{5}{14} od obou stran rovnice.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$