Vyřešit 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 5x^{2}+ax+bx-2184. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -10920 produktu.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Řešením je dvojice se součtem -1.

$$a=-105 b=104$$

Zapište 5x^{2}-x-2184 jako: \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Koeficient 5x v prvním a 104 ve druhé skupině.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Vytkněte společný člen x-21 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-21=0 a 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 5 za a, -1 za b a -2184 za c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslem -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Opakem -1 je 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{1±209}{10}, když ± je plus. Přidejte uživatele 1 do skupiny 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Vydělte číslo 210 číslem 10.

$$x=21$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{1±209}{10}, když ± je minus. Odečtěte číslo 209 od čísla 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Vykraťte zlomek \frac{-208}{10} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Připočítejte 2184 k oběma stranám rovnice.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Odečtením čísla -2184 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Odečtěte číslo -2184 od čísla 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Dělení číslem 5 ruší násobení číslem 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Vydělte -\frac{1}{5}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{1}{10}. Potom přidejte čtvereček -\frac{1}{10} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{10} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Připočítejte \frac{2184}{5} ke \frac{1}{100} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Činitel x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Připočítejte \frac{1}{10} k oběma stranám rovnice.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$