Vyřešit 48x^2+24x-1geq0

$$48 x ^ { 2 } + 24 x - 1 \geq 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}]\cup [\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4},\infty)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$48x^{2}+24x-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 48, b hodnotou 24 a c hodnotou -1.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 48\left(-1\right)}}{2\times 48}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-24±16\sqrt{3}}{96}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{-24±16\sqrt{3}}{96} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$48\left(x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) a x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) a x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) obojí ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}.

$$x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Zvažte případ, kdy x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) a x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) obojí ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$