Vyřešit 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x číslem 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Sloučením 40x a 60x získáte 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Odečtěte 200 od obou stran.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -4 za a, 100 za b a -200 za c.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Umocněte číslo 100 na druhou.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo 16 číslem -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Přidejte uživatele 10000 do skupiny -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, když ± je plus. Přidejte uživatele -100 do skupiny 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Vydělte číslo -100+20\sqrt{17} číslem -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 20\sqrt{17} od čísla -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Vydělte číslo -100-20\sqrt{17} číslem -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x číslem 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Sloučením 40x a 60x získáte 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Dělení číslem -4 ruší násobení číslem -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Vydělte číslo 100 číslem -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Vydělte číslo 200 číslem -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Vydělte -25, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{25}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{25}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{25}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Přidejte uživatele -50 do skupiny \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Činitel x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Připočítejte \frac{25}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$