Vyřešit 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x-3y=2$$

Připočítejte 3y k oběma stranám rovnice.

$$4x=3y+2$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} za x ve druhé rovnici, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Přidejte uživatele \frac{3y}{4} do skupiny 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{2} od obou stran rovnice.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{23}{4}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=-2$$

V rovnici x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2} dosaďte y za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Vynásobte číslo \frac{3}{4} číslem -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} ke -\frac{3}{2} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=-1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=-2$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-1,y=-2$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Odečtěte rovnici 4x+20y=-44 od rovnice 4x-3y=2 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Přidejte uživatele 4x do skupiny -4x. Členy 4x a -4x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-3y-20y=2+44$$

Přidejte uživatele -3y do skupiny -20y.

$$-23y=2+44$$

Přidejte uživatele 2 do skupiny 44.

$$-23y=46$$

Vydělte obě strany hodnotou -23.

$$y=-2$$

V rovnici x+5y=-11 dosaďte y za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Vynásobte číslo 5 číslem -2.

$$x-10=-11$$

Připočítejte 10 k oběma stranám rovnice.

$$x=-1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=-2$$