Vyřešit 4x^2+20x+25=49

$$4 x ^ { 2 } + 20 x + 25 = 49$$

Vyřešte pro: x

$$x=-6$$

$$x=1$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 49 od obou stran.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

Odečtěte 49 od 25 a dostanete -24.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x^{2}+5x-6=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako x^{2}+ax+bx-6. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -6 produktu.

$$-1,6 -2,3$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Řešením je dvojice se součtem 5.

$$a=-1 b=6$$

Zapište x^{2}+5x-6 jako: \left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right)$$

Koeficient x v prvním a 6 ve druhé skupině.

$$x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)$$

Vytkněte společný člen x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-1\right)\left(x+6\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-1=0 a x+6=0.

$$x=1 x=-6$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

Odečtěte hodnotu 49 od obou stran rovnice.

$$4x^{2}+20x+25-49=49-49$$

Odečtením čísla 49 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

Odečtěte číslo 49 od čísla 25.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, 20 za b a -24 za c.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo 20 na druhou.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -24.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 400 do skupiny 384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 784.

$$x=\frac{-20±28}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{-20±28}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-20±28}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele -20 do skupiny 28.

$$x=\frac{8}{8}$$

Vydělte číslo 8 číslem 8.

$$x=1$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-20±28}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 28 od čísla -20.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Vydělte číslo -48 číslem 8.

$$x=-6$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=1 x=-6$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

Odečtěte hodnotu 25 od obou stran rovnice.

$$4x^{2}+20x+25-25=49-25$$

Odečtením čísla 25 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}+20x=49-25$$

Odečtěte číslo 25 od čísla 49.

$$4x^{2}+20x=24$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=\frac{24}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=\frac{24}{4}$$

Vydělte číslo 20 číslem 4.

$$x^{2}+5x=\frac{24}{4}$$

Vydělte číslo 24 číslem 4.

$$x^{2}+5x=6$$

Vydělte 5, koeficient x termínu 2 k získání \frac{5}{2}. Potom přidejte čtvereček \frac{5}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{5}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Přidejte uživatele 6 do skupiny \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Činitel x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Odečtěte hodnotu \frac{5}{2} od obou stran rovnice.

$$x=1 x=-6$$