Vyřešit 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 4x^{2}+ax+bx-7. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -28 produktu.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Řešením je dvojice se součtem -12.

$$a=-14 b=2$$

Zapište 4x^{2}-12x-7 jako: \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Vytkněte 2x z výrazu 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Vytkněte společný člen 2x-7 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-7=0 a 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -12 za b a -7 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -12 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 144 do skupiny 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Opakem -12 je 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{12±16}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele 12 do skupiny 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{28}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{12±16}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 16 od čísla 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{-4}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Připočítejte 7 k oběma stranám rovnice.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Odečtením čísla -7 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Odečtěte číslo -7 od čísla 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Vydělte číslo -12 číslem 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Vydělte -3, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{3}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{3}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{3}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Připočítejte \frac{7}{4} ke \frac{9}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Činitel x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Připočítejte \frac{3}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$