Vyřešit 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 39x^{2}+ax+bx-9. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -351 produktu.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

Řešením je dvojice se součtem 14.

$$a=-13 b=27$$

Zapište 39x^{2}+14x-9 jako: \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Koeficient 13x v prvním a 9 ve druhé skupině.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Vytkněte společný člen 3x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 3x-1=0 a 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 39 za a, 14 za b a -9 za c.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Umocněte číslo 14 na druhou.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Vynásobte číslo -156 číslem -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Přidejte uživatele 196 do skupiny 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-14±40}{78}, když ± je plus. Přidejte uživatele -14 do skupiny 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Vykraťte zlomek \frac{26}{78} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-14±40}{78}, když ± je minus. Odečtěte číslo 40 od čísla -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Vykraťte zlomek \frac{-54}{78} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Připočítejte 9 k oběma stranám rovnice.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Odečtením čísla -9 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Odečtěte číslo -9 od čísla 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Vydělte obě strany hodnotou 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

Dělení číslem 39 ruší násobení číslem 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Vykraťte zlomek \frac{9}{39} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Vydělte \frac{14}{39}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{7}{39}. Potom přidejte čtvereček \frac{7}{39} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{7}{39} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Připočítejte \frac{3}{13} ke \frac{49}{1521} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Činitel x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Odečtěte hodnotu \frac{7}{39} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$