Vyřešit 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Rozložit

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Postup řešení

Vynásobte a slučte stejné členy.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Pokud chcete výraz vynásobit, vyřešte rovnici, ve které se rovná 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -16 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 3. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-4$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 číslem x+4 a dostanete 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Pokud chcete rozložit výsledek, vyřešte rovnici, ve které se rovná: 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -4 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 3. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-4$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 3x^{3}+12x^{2}-x-4 číslem x+4 a dostanete 3x^{2}-1. Pokud chcete rozložit výsledek, vyřešte rovnici, ve které se rovná: 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 3, b hodnotou 0 a c hodnotou -1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte 3x^{2}-1=0 rovnice.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Přepište rozložený výraz pomocí získaných kořenů. Polynom 3x^{2}-1 není rozložitelný, protože nemá žádné racionální kořeny.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Vyhodnotit

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Postup řešení

Sloučením 48x^{2} a -x^{2} získáte 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$