Vyřešit 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Vyřešte pro: n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 1141 od obou stran.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Odečtěte 1141 od 1 a dostanete -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako n^{2}+an+bn-380. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -380 produktu.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Řešením je dvojice se součtem 1.

$$a=-19 b=20$$

Zapište n^{2}+n-380 jako: \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Koeficient n v prvním a 20 ve druhé skupině.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Vytkněte společný člen n-19 s využitím distributivnosti.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte n-19=0 a n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Odečtěte hodnotu 1141 od obou stran rovnice.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Odečtením čísla 1141 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Odečtěte číslo 1141 od čísla 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, 3 za b a -1140 za c.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo 3 na druhou.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 9 do skupiny 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{-3±117}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele -3 do skupiny 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Vydělte číslo 114 číslem 6.

$$n=19$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{-3±117}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 117 od čísla -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Vydělte číslo -120 číslem 6.

$$n=-20$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$n=19 n=-20$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Odečtením čísla 1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Odečtěte číslo 1 od čísla 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Vydělte číslo 3 číslem 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Vydělte číslo 1140 číslem 3.

$$n^{2}+n=380$$

Vydělte 1, koeficient x termínu 2 k získání \frac{1}{2}. Potom přidejte čtvereček \frac{1}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Přidejte uživatele 380 do skupiny \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Činitel n^{2}+n+\frac{1}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{2} od obou stran rovnice.

$$n=19 n=-20$$