Vyřešit 2x-5=sqrt{x^2-7}

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x-5\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}-7} na 2 získáte x^{2}-7.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

Sloučením 4x^{2} a -x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Přidat 7 na obě strany.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

Sečtením 25 a 7 získáte 32.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 3x^{2}+ax+bx+32. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 96 produktu.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

Řešením je dvojice se součtem -20.

$$a=-12 b=-8$$

Zapište 3x^{2}-20x+32 jako: \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

Koeficient 3x v prvním a -8 ve druhé skupině.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

Vytkněte společný člen x-4 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-4=0 a 3x-8=0.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

Dosaďte 4 za x v rovnici 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=4 splňuje požadavky rovnice.

$$3=3$$

Dosaďte \frac{8}{3} za x v rovnici 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{8}{3} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Seznam všech řešení rovnice 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$