Vyřešit 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Vyřešte pro: n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 13n^{2}+an+bn-120. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -1560 produktu.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Řešením je dvojice se součtem -41.

$$a=-65 b=24$$

Zapište 13n^{2}-41n-120 jako: \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Koeficient 13n v prvním a 24 ve druhé skupině.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Vytkněte společný člen n-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte n-5=0 a 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 13 za a, -41 za b a -120 za c.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Umocněte číslo -41 na druhou.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Vynásobte číslo -52 číslem -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Přidejte uživatele 1681 do skupiny 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Opakem -41 je 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{41±89}{26}, když ± je plus. Přidejte uživatele 41 do skupiny 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Vydělte číslo 130 číslem 26.

$$n=5$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{41±89}{26}, když ± je minus. Odečtěte číslo 89 od čísla 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Vykraťte zlomek \frac{-48}{26} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Připočítejte 120 k oběma stranám rovnice.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Odečtením čísla -120 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Odečtěte číslo -120 od čísla 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Vydělte obě strany hodnotou 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Dělení číslem 13 ruší násobení číslem 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Vydělte -\frac{41}{13}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{41}{26}. Potom přidejte čtvereček -\frac{41}{26} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{41}{26} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Připočítejte \frac{120}{13} ke \frac{1681}{676} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Činitel n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Připočítejte \frac{41}{26} k oběma stranám rovnice.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$