Vyřešit 12x^2-12^2x+9>0

$$12 { x }^{ 2 } - { 12 }^{ 2 } x+9 > 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\cup \left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6,\infty\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Výpočtem 12 na 2 získáte 144.

$$12x^{2}-144x+9>0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-144x+9=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 12, b hodnotou -144 a c hodnotou 9.

$$x=\frac{-\left(-144\right)±\sqrt{\left(-144\right)^{2}-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{141}}{2}+6 x=-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)>0$$

Pokud má součin představovat kladné číslo, musí být hodnoty x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) a x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) buď obě záporné, nebo obě kladné. Předpokládejme, že oba výrazy x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) a x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) jsou záporné.

$$x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0 x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Předpokládejme, že oba výrazy x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) a x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) jsou kladné.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\text{; }x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$