Vyřešit 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 11, b hodnotou -9 a c hodnotou 1.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Pokud má součin představovat kladné číslo, musí být hodnoty x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} a x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} buď obě záporné, nebo obě kladné. Předpokládejme, že oba výrazy x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} a x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} jsou záporné.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Předpokládejme, že oba výrazy x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} a x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} jsou kladné.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$