Vyřešit 10x^2-7x-12geq0

$$10 x ^ { 2 } - 7 x - 12 \geq 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in (-\infty,-\frac{4}{5}]\cup [\frac{3}{2},\infty)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}-7x-12=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 10, b hodnotou -7 a c hodnotou -12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{7±23}{20}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{7±23}{20} rovnice.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{4}{5}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být x-\frac{3}{2} a x+\frac{4}{5} jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy x-\frac{3}{2} a x+\frac{4}{5} obojí ≤0.

$$x-\frac{3}{2}\leq 0 x+\frac{4}{5}\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\leq -\frac{4}{5}.

$$x\leq -\frac{4}{5}$$

Zvažte případ, kdy x-\frac{3}{2} a x+\frac{4}{5} obojí ≥0.

$$x+\frac{4}{5}\geq 0 x-\frac{3}{2}\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\geq \frac{3}{2}.

$$x\geq \frac{3}{2}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\leq -\frac{4}{5}\text{; }x\geq \frac{3}{2}$$