Vyřešit -6y+2x=12text{and}x-3(x+2)=2y-8x

$$- 6 y + 2 x = 12 \text { and } x - 3 ( x + 2 ) = 2 y - 8 x$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$y = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} = -1,875$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití druhé rovnice. S využitím distributivnosti vynásobte číslo -3 číslem x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Sloučením x a -3x získáte -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Odečtěte 2y od obou stran.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Přidat 8x na obě strany.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Sloučením -2x a 8x získáte 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Přidat 6 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$6x-2y=6$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro y izolováním y na levé straně rovnice.

$$-6y+2x=12$$

Odečtěte hodnotu 2x od obou stran rovnice.

$$-6y=-2x+12$$

Vydělte obě strany hodnotou -6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-2x+12\right)$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{6} číslem -2x+12.

$$y=\frac{1}{3}x-2$$

Dosaďte \frac{x}{3}-2 za y ve druhé rovnici, -2y+6x=6.

$$-2\left(\frac{1}{3}x-2\right)+6x=6$$

Vynásobte číslo -2 číslem \frac{x}{3}-2.

$$-\frac{2}{3}x+4+6x=6$$

Přidejte uživatele -\frac{2x}{3} do skupiny 6x.

$$\frac{16}{3}x+4=6$$

Odečtěte hodnotu 4 od obou stran rovnice.

$$\frac{16}{3}x=2$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{16}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$x=\frac{3}{8}$$

V rovnici y=\frac{1}{3}x-2 dosaďte x za proměnnou \frac{3}{8}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}-2$$

Vynásobte zlomek \frac{1}{3} zlomkem \frac{3}{8} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$y=\frac{1}{8}-2$$

Přidejte uživatele -2 do skupiny \frac{1}{8}.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Postup použití matic

Zvažte použití druhé rovnice. S využitím distributivnosti vynásobte číslo -3 číslem x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Sloučením x a -3x získáte -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Odečtěte 2y od obou stran.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Přidat 8x na obě strany.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Sloučením -2x a 8x získáte 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Přidat 6 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$6x-2y=6$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\times 12+\frac{1}{16}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 12+\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{8}\\\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití druhé rovnice. S využitím distributivnosti vynásobte číslo -3 číslem x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Sloučením x a -3x získáte -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Odečtěte 2y od obou stran.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Přidat 8x na obě strany.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Sloučením -2x a 8x získáte 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Přidat 6 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$6x-2y=6$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Pokud chcete, aby byly členy -6y a -2y stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -2 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem -6.

$$-2\left(-6\right)y-2\times 2x=-2\times 12,-6\left(-2\right)y-6\times 6x=-6\times 6$$

Proveďte zjednodušení.

$$12y-4x=-24,12y-36x=-36$$

Odečtěte rovnici 12y-36x=-36 od rovnice 12y-4x=-24 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$12y-12y-4x+36x=-24+36$$

Přidejte uživatele 12y do skupiny -12y. Členy 12y a -12y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-4x+36x=-24+36$$

Přidejte uživatele -4x do skupiny 36x.

$$32x=-24+36$$

Přidejte uživatele -24 do skupiny 36.

$$32x=12$$

Vydělte obě strany hodnotou 32.

$$x=\frac{3}{8}$$

V rovnici -2y+6x=6 dosaďte x za proměnnou \frac{3}{8}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$-2y+6\times \frac{3}{8}=6$$

Vynásobte číslo 6 číslem \frac{3}{8}.

$$-2y+\frac{9}{4}=6$$

Odečtěte hodnotu \frac{9}{4} od obou stran rovnice.

$$-2y=\frac{15}{4}$$

Vydělte obě strany hodnotou -2.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$