Vyřešit -x^2+45x-200=124

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

Vyřešte pro: x

$$x=9$$

$$x=36$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 124 od obou stran.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Odečtěte 124 od -200 a dostanete -324.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -x^{2}+ax+bx-324. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 324 produktu.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Řešením je dvojice se součtem 45.

$$a=36 b=9$$

Zapište -x^{2}+45x-324 jako: \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

Koeficient -x v prvním a 9 ve druhé skupině.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

Vytkněte společný člen x-36 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-36=0 a -x+9=0.

$$x=36 x=9$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Odečtěte hodnotu 124 od obou stran rovnice.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

Odečtením čísla 124 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Odečtěte číslo 124 od čísla -200.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, 45 za b a -324 za c.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte číslo 45 na druhou.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslem -324.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

Přidejte uživatele 2025 do skupiny -1296.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 729.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-45±27}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -45 do skupiny 27.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Vydělte číslo -18 číslem -2.

$$x=9$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-45±27}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 27 od čísla -45.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

Vydělte číslo -72 číslem -2.

$$x=36$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=9 x=36$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Připočítejte 200 k oběma stranám rovnice.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

Odečtením čísla -200 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

Odečtěte číslo -200 od čísla 124.

$$-x^{2}+45x=324$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

Dělení číslem -1 ruší násobení číslem -1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

Vydělte číslo 45 číslem -1.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

Vydělte číslo 324 číslem -1.

$$x^{2}-45x=-324$$

Vydělte -45, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{45}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{45}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{45}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

Přidejte uživatele -324 do skupiny \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

Činitel x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

Připočítejte \frac{45}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=36 x=9$$