Vyřešit (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 20-x číslem 100+20x a slučte stejné členy.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Odečtěte 2240 od obou stran.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Odečtěte 2240 od 2000 a dostanete -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -20 za a, 300 za b a -240 za c.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Umocněte číslo 300 na druhou.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Vynásobte číslo 80 číslem -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Přidejte uživatele 90000 do skupiny -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, když ± je plus. Přidejte uživatele -300 do skupiny 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Vydělte číslo -300+20\sqrt{177} číslem -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, když ± je minus. Odečtěte číslo 20\sqrt{177} od čísla -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Vydělte číslo -300-20\sqrt{177} číslem -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 20-x číslem 100+20x a slučte stejné členy.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Odečtěte 2000 od obou stran.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Odečtěte 2000 od 2240 a dostanete 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Vydělte obě strany hodnotou -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Dělení číslem -20 ruší násobení číslem -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Vydělte číslo 300 číslem -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Vydělte číslo 240 číslem -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Vydělte -15, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{15}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{15}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{15}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Přidejte uživatele -12 do skupiny \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Činitel x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Připočítejte \frac{15}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$