Vyřešit (20-3x)(12-2x)=112

$$(20-3x)(12-2x)=112$$

Vyřešte pro: x

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 20-3x číslem 12-2x a slučte stejné členy.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Odečtěte 112 od obou stran.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Odečtěte 112 od 240 a dostanete 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 6 za a, -76 za b a 128 za c.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Umocněte číslo -76 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslem 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Přidejte uživatele 5776 do skupiny -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

Opakem -76 je 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{76±52}{12}, když ± je plus. Přidejte uživatele 76 do skupiny 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Vykraťte zlomek \frac{128}{12} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{32}{3}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{76±52}{12}, když ± je minus. Odečtěte číslo 52 od čísla 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Vydělte číslo 24 číslem 12.

$$x=2$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 20-3x číslem 12-2x a slučte stejné členy.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Odečtěte 240 od obou stran.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Odečtěte 240 od 112 a dostanete -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Dělení číslem 6 ruší násobení číslem 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{-76}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{-128}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Vydělte -\frac{38}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{19}{3}. Potom přidejte čtvereček -\frac{19}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{19}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Připočítejte -\frac{64}{3} ke \frac{361}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Činitel x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Připočítejte \frac{19}{3} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$