Vyřešit (x^2+3x-2)(x^2+3x+4)=16

$$( x ^ { 2 } + 3 x - 2 ) ( x ^ { 2 } + 3 x + 4 ) = 16$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=-4$$

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1,5-1,936491673i$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}+3x-2 číslem x^{2}+3x+4 a slučte stejné členy.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Odečtěte 16 od obou stran.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Odečtěte 16 od -8 a dostanete -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -24 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=1$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 číslem x-1 a dostanete x^{3}+7x^{2}+18x+24. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 24 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-4$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}+7x^{2}+18x+24 číslem x+4 a dostanete x^{2}+3x+6. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 3 a c hodnotou 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x^{2}+3x+6=0 rovnice.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=1 x=-4 x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Vyřešte pro: x

$$x=-4$$

$$x=1$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}+3x-2 číslem x^{2}+3x+4 a slučte stejné členy.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Odečtěte 16 od obou stran.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Odečtěte 16 od -8 a dostanete -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -24 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=1$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 číslem x-1 a dostanete x^{3}+7x^{2}+18x+24. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 24 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-4$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}+7x^{2}+18x+24 číslem x+4 a dostanete x^{2}+3x+6. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 3 a c hodnotou 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=1 x=-4$$