Vyřešit (2500+250x)^2+500^2=(340x)^2

$$( 2500 + 250 x ) ^ { 2 } + 500 ^ { 2 } = ( 340 x ) ^ { 2 }$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{50 \sqrt{29431} + 6250}{531} \approx 27,924167233$$

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}\approx -4,383677591$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(2500+250x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+500^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Výpočtem 500 na 2 získáte 250000.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+250000=\left(340x\right)^{2}$$

Sečtením 6250000 a 250000 získáte 6500000.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Roznásobte \left(340x\right)^{2}.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=340^{2}x^{2}$$

Výpočtem 340 na 2 získáte 115600.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=115600x^{2}$$

Odečtěte 115600x^{2} od obou stran.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}-115600x^{2}=0$$

Sloučením 62500x^{2} a -115600x^{2} získáte -53100x^{2}.

$$6500000+1250000x-53100x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-53100x^{2}+1250000x+6500000=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -53100 za a, 1250000 za b a 6500000 za c.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1250000^{2}-4\left(-53100\right)\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Umocněte číslo 1250000 na druhou.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000-4\left(-53100\right)\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -53100.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000+212400\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Vynásobte číslo 212400 číslem 6500000.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000+1380600000000}}{2\left(-53100\right)}$$

Přidejte uživatele 1562500000000 do skupiny 1380600000000.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{2943100000000}}{2\left(-53100\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2943100000000.

$$x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{2\left(-53100\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -53100.

$$x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200}, když ± je plus. Přidejte uživatele -1250000 do skupiny 10000\sqrt{29431}.

$$x=\frac{10000\sqrt{29431}-1250000}{-106200}$$

Vydělte číslo -1250000+10000\sqrt{29431} číslem -106200.

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200}, když ± je minus. Odečtěte číslo 10000\sqrt{29431} od čísla -1250000.

$$x=\frac{-10000\sqrt{29431}-1250000}{-106200}$$

Vydělte číslo -1250000-10000\sqrt{29431} číslem -106200.

$$x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531} x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(2500+250x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+500^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Výpočtem 500 na 2 získáte 250000.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+250000=\left(340x\right)^{2}$$

Sečtením 6250000 a 250000 získáte 6500000.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Roznásobte \left(340x\right)^{2}.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=340^{2}x^{2}$$

Výpočtem 340 na 2 získáte 115600.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=115600x^{2}$$

Odečtěte 115600x^{2} od obou stran.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}-115600x^{2}=0$$

Sloučením 62500x^{2} a -115600x^{2} získáte -53100x^{2}.

$$6500000+1250000x-53100x^{2}=0$$

Odečtěte 6500000 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$1250000x-53100x^{2}=-6500000$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-53100x^{2}+1250000x=-6500000$$

Vydělte obě strany hodnotou -53100.

$$\frac{-53100x^{2}+1250000x}{-53100}=-\frac{6500000}{-53100}$$

Dělení číslem -53100 ruší násobení číslem -53100.

$$x^{2}+\frac{1250000}{-53100}x=-\frac{6500000}{-53100}$$

Vykraťte zlomek \frac{1250000}{-53100} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 100.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x=-\frac{6500000}{-53100}$$

Vykraťte zlomek \frac{-6500000}{-53100} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 100.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x=\frac{65000}{531}$$

Vydělte -\frac{12500}{531}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{6250}{531}. Potom přidejte čtvereček -\frac{6250}{531} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\left(-\frac{6250}{531}\right)^{2}=\frac{65000}{531}+\left(-\frac{6250}{531}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{6250}{531} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961}=\frac{65000}{531}+\frac{39062500}{281961}$$

Připočítejte \frac{65000}{531} ke \frac{39062500}{281961} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961}=\frac{73577500}{281961}$$

Činitel x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6250}{531}\right)^{2}=\frac{73577500}{281961}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6250}{531}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73577500}{281961}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{6250}{531}=\frac{50\sqrt{29431}}{531} x-\frac{6250}{531}=-\frac{50\sqrt{29431}}{531}$$

Připočítejte \frac{6250}{531} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531} x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}$$