Vyřešit (frac{sqrt{5}+1}{2})^2-(frac{sqrt{5}-1}{2})^2

$$( \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - ( \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } ) ^ { 2 }$$

Vyhodnotit

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Stručný postup řešení

Pokud chcete výraz \frac{\sqrt{5}+1}{2} umocnit, umocněte čitatel i jmenovatel. Pak teprve proveďte operaci dělení.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

Pokud chcete výraz \frac{\sqrt{5}-1}{2} umocnit, umocněte čitatel i jmenovatel. Pak teprve proveďte operaci dělení.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{5}-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Sečtením 5 a 1 získáte 6.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Pokud chcete sčítat nebo odčítat výrazy, rozšiřte je, aby měly stejné jmenovatele. Roznásobte 2^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Vzhledem k tomu, že \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} a \frac{6-2\sqrt{5}}{4} mají stejného jmenovatele, můžete je odečíst odečtením jejich čitatelů.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

Proveďte násobení ve výrazu \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right).

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

Proveďte výpočty ve výrazu \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

Vykraťte 4 a 4.

$$\sqrt{5}$$

Roznásobit

$$\sqrt{5} = 2,236067977$$

Stručný postup řešení

Pokud chcete výraz \frac{\sqrt{5}+1}{2} umocnit, umocněte čitatel i jmenovatel. Pak teprve proveďte operaci dělení.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

Pokud chcete výraz \frac{\sqrt{5}-1}{2} umocnit, umocněte čitatel i jmenovatel. Pak teprve proveďte operaci dělení.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{5}-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Sečtením 5 a 1 získáte 6.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Pokud chcete sčítat nebo odčítat výrazy, rozšiřte je, aby měly stejné jmenovatele. Roznásobte 2^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Vzhledem k tomu, že \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} a \frac{6-2\sqrt{5}}{4} mají stejného jmenovatele, můžete je odečíst odečtením jejich čitatelů.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

Proveďte násobení ve výrazu \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right).

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

Proveďte výpočty ve výrazu \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

Vykraťte 4 a 4.

$$\sqrt{5}$$