Vyřešit x^3+x^2+x+1=0

$${ x }^{ 3 } + { x }^{ 2 } +x+1=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-1$$

Postup řešení

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 1 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-1$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}+x^{2}+x+1 číslem x+1 a dostanete x^{2}+1. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 0 a c hodnotou 1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=-1$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=i$$