Vyřešit sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Vyřešte pro: x

$$x=5$$

$$x=1$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu -\sqrt{2x-1} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{3x+1} na 2 získáte 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x-1} na 2 získáte 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Odečtěte 1 od 1 a dostanete 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Odečtěte hodnotu 2x od obou stran rovnice.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Sloučením 3x a -2x získáte x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x-1} na 2 získáte 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Odečtěte 8x od obou stran.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Sloučením 2x a -8x získáte -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Přidat 4 na obě strany.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Sečtením 1 a 4 získáte 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, součinitel x^{2}-6x+5 použijte vzorec x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-6 ab=5$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Jediná taková dvojice představuje systémové řešení.

$$a=-5 b=-1$$

Přepište rozložený výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomocí získaných hodnot.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-5=0 a x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Dosaďte 5 za x v rovnici \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=5 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Dosaďte 1 za x v rovnici \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=1 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$