Vyřešit ∫ x-2sqrt{x}+1 wrt x

$$\int{ x-2 \sqrt{ x } +1 }d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+x+С$$

Postup řešení

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -2\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int x\mathrm{d}x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Zapište \sqrt{x} jako: x^{\frac{1}{2}}. Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Proveďte zjednodušení. Vynásobte číslo -2 číslem \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int 1\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 1 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+x$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+x+С$$

Derivovat vzhledem k x

$$\left(\sqrt{x}-1\right)^{2}$$