Vyřešit ∫ (from 4 to 8) of (x^2-12x+32) wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 8 } ( x ^ { 2 } - 12 x + 32 ) d x$$

Vyhodnotit

$$-\frac{32}{3}\approx -10,666666667$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{2}-12x+32\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -12x\mathrm{d}x+\int 32\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-12\int x\mathrm{d}x+\int 32\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-12\int x\mathrm{d}x+\int 32\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -12 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-6x^{2}+\int 32\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 32 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{x^{3}}{3}-6x^{2}+32x$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{8^{3}}{3}-6\times 8^{2}+32\times 8-\left(\frac{4^{3}}{3}-6\times 4^{2}+32\times 4\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$-\frac{32}{3}$$