Vyřešit ∫ (from 3 to 50) of (x+8)x

$$\int _ { 3 } ^ { 50 } ( x + 8 ) x$$

Vyhodnotit

$$\frac{154865}{3}\approx 51621,666666667$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x+8 číslem x.

$$\int _{3}^{50}x^{2}+8x\mathrm{d}x$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{2}+8x\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8x\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+8\int x\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 8 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+4x^{2}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{50^{3}}{3}+4\times 50^{2}-\left(\frac{3^{3}}{3}+4\times 3^{2}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{154865}{3}$$