Vyřešit ∫ (from 0 to 2 cos θ) of r ^ 2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } r ^ { 2 } d r$$

Vyhodnotit

$$\frac{8\left(\cos(\theta )\right)^{3}}{3}$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Vzhledem k tomu, že \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int r^{2}\mathrm{d}r \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{3}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{1}{3}\times \left(2\cos(\theta )\right)^{3}-\frac{0^{3}}{3}$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{8\left(\cos(\theta )\right)^{3}}{3}$$

Derivovat vzhledem k θ

$$-8\sin(\theta )\left(\cos(\theta )\right)^{2}$$