Vyřešit ∫ (from 0 to 1) of (2sqrt{y}-sqrt{y}) wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 \sqrt { y } - \sqrt { y } ) d y$$

Vyhodnotit

$$\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Postup řešení

Sloučením 2\sqrt{y} a -\sqrt{y} získáte \sqrt{y}.

$$\int _{0}^{1}\sqrt{y}\mathrm{d}y$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int \sqrt{y}\mathrm{d}y$$

Zapište \sqrt{y} jako: y^{\frac{1}{2}}. Vzhledem k tomu, že \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int y^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y \frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Proveďte zjednodušení.

$$\frac{2y^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{2}{3}$$