Vyřešit ∫ (x+1)(2x+2)(x+1)

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x + 2 ) ( x + 1 )$$

Vyhodnotit

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x+С$$

Postup řešení

Vynásobením x+1 a x+1 získáte \left(x+1\right)^{2}.

$$\int \left(x+1\right)^{2}\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Rozviňte výraz \left(x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int \left(x^{2}+2x+1\right)\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu x^{2}+2x+1 každým členem výrazu 2x+2.

$$\int 2x^{3}+2x^{2}+4x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Sloučením 2x^{2} a 4x^{2} získáte 6x^{2}.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Sloučením 4x a 2x získáte 6x.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+6x+2\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 2 číslem \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 6 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 6 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 2 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x$$

Pokud F\left(x\right) je f\left(x\right), je sada všech antiderivátů f\left(x\right) uvedena v F\left(x\right)+C. Proto se k výsledku přidá konstanta integračního C\in \mathrm{R}.

$$3x^{2}+2x^{3}+\frac{x^{4}}{2}+2x+С$$

Derivovat vzhledem k x

$$2\left(x+1\right)^{3}$$