Vyřešit 5-2x/3+4<3x-5/4*3x/2

$$\frac { 5 - 2 x } { 3 } + 4 < \frac { 3 x - 5 } { 4 } \cdot \frac { 3 x } { 2 }$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(-\infty,\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{15529}+29}{54},\infty\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Vynásobte obě strany rovnice číslem 12, nejmenším společným násobkem čísel 3,4,2. Protože je 12 kladné, směr nerovnice zůstane stejný.

$$4\left(5-2x\right)+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem 5-2x.

$$20-8x+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Sečtením 20 a 48 získáte 68.

$$68-8x<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Vyjádřete 3\times \frac{3x}{2} jako jeden zlomek.

$$68-8x<\frac{3\times 3x}{2}\left(3x-5\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo \frac{3\times 3x}{2} číslem 3x-5.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 3^{2}}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Výpočtem 3 na 2 získáte 9.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Vyjádřete 3\times \frac{x\times 9}{2} jako jeden zlomek.

$$68-8x<\frac{3x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Vyjádřete \frac{3x\times 9}{2}x jako jeden zlomek.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Vynásobením 3 a 3 získáte 9.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{9x}{2}$$

Vyjádřete -5\times \frac{9x}{2} jako jeden zlomek.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}+\frac{-5\times 9x}{2}$$

Vzhledem k tomu, že \frac{3x\times 9x}{2} a \frac{-5\times 9x}{2} mají stejného jmenovatele, můžete je sečíst sečtením jejich čitatelů.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x-5\times 9x}{2}$$

Proveďte násobení ve výrazu 3x\times 9x-5\times 9x.

$$68-8x<\frac{27x^{2}-45x}{2}$$

Když jednotlivé členy vzorce 27x^{2}-45x vydělíte 2, dostanete \frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x.

$$68-8x<\frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x$$

Odečtěte \frac{27}{2}x^{2} od obou stran.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}<-\frac{45}{2}x$$

Přidat \frac{45}{2}x na obě strany.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}+\frac{45}{2}x<0$$

Sloučením -8x a \frac{45}{2}x získáte \frac{29}{2}x.

$$68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2}<0$$

Vynásobte nerovnici -1, aby byl koeficient nejvyšší mocniny ve výrazu 68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2} kladný. Protože je -1 záporné, směr nerovnice se změní.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}>0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou \frac{27}{2}, b hodnotou -\frac{29}{2} a c hodnotou -68.

$$x=\frac{-\left(-\frac{29}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}-4\times \frac{27}{2}\left(-68\right)}}{2\times \frac{27}{2}}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{15529}+29}{54} x=\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\frac{27}{2}\left(x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}\right)\left(x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)>0$$

Pokud má součin představovat kladné číslo, musí být hodnoty x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} a x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} buď obě záporné, nebo obě kladné. Předpokládejme, že oba výrazy x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} a x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} jsou záporné.

$$x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}<0 x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Předpokládejme, že oba výrazy x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} a x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} jsou kladné.

$$x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}>0 x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}>0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}.

$$x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\text{; }x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$