Vyřešit 3/sqrt{5+sqrt{2}}+1/3+sqrt{8}

$$\frac { 3 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 3 + \sqrt { 8 } }$$

Vyhodnotit

$$\sqrt{5}+3-3\sqrt{2}\approx 0,99342729$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} vynásobením čitatele a jmenovatele \sqrt{5}-\sqrt{2}.

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Zvažte \left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Umocněte číslo \sqrt{5} na druhou. Umocněte číslo \sqrt{2} na druhou.

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{5-2}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Odečtěte 2 od 5 a dostanete 3.

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Vykraťte 3 a 3.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Rozložte 8=2^{2}\times 2 na součin. Odpište druhou odmocninu produktu \sqrt{2^{2}\times 2} jako součin čtvercových kořenových složek \sqrt{2^{2}}\sqrt{2}. Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2^{2}.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$$

Převeďte jmenovatele \frac{1}{3+2\sqrt{2}} vynásobením čitatele a jmenovatele 3-2\sqrt{2}.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}$$

Zvažte \left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Výpočtem 3 na 2 získáte 9.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Roznásobte \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{2} je 2.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-4\times 2}$$

Vynásobením 4 a 2 získáte 8.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}$$

Odečtěte 8 od 9 a dostanete 1.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{1}$$

Vydělením čísla číslem 1 dostaneme číslo samotné.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}$$

Sloučením -\sqrt{2} a -2\sqrt{2} získáte -3\sqrt{2}.

$$\sqrt{5}-3\sqrt{2}+3$$